微积分基本定理：定积分不用再硬算黎曼和 (2026)

上一篇用黎曼和定义了定积分。问题是：每次都把区间切成

n

份、写求和、再令

n \to \infty

，太慢。微积分基本定理给出一条捷径：先找原函数，再用端点相减。

直觉铺垫：面积函数的斜率，为什么会回到原函数

设

G (x) = \int_{a}^{x} f (t) d t .

G (x)

表示从固定起点

a

积到当前位置

x

的「累计面积」。当

x

增加一点点

Δ x

时，新增面积大约是一条很窄的矩形：高度接近

f (x)

，宽度是

Δ x

。所以

G (x + Δ x) - G (x) \approx f (x) Δ x .

两边除以

Δ x

，再让

Δ x \to 0

，左边就是

G^{'} (x)

，右边变成

f (x)

。也就是说，面积函数的导数就是被积函数。Paul's Online Notes 在定积分定义一节中也把第一部分写成

\frac{d}{d x} \int_{a}^{x} f (t) d t = f (x)

，并说明它揭示了积分和导数的紧密关系。1

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上图取的是

G (x) = \int_{0}^{x} 2 t d t = x^{2}

。曲线

G (x)

的增长速度，在每个点正好由

f (x) = 2 x

给出。

精确定义：基本定理有两句话

微积分基本定理两句话

一部分说明积分产生原函数，另一部分说明定积分怎么计算

第一部分	d/dx ∫ₐˣ f(t)dt = f(x)
第二部分	∫ₐᵇ f(x)dx = F(b)-F(a)
常用条件	f 在 [a,b] 上连续

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若

f (x)

在

[a, b]

上连续，定义

$ G(x)=\int_a^x f(t),dt, $

则

G^{'} (x) = f (x)

。这是第一部分，说明「从

a

积到

x

」会制造出

f

的一个原函数。Wikipedia 的条目也把第一部分表述为：连续函数

f

的变上限积分

F (x) = \int_{a}^{x} f (t) d t

是

f

的一个原函数。2

若

F^{'} (x) = f (x)

，则

\int_{a}^{b} f (x) d x = F (b) - F (a) .

这是第二部分，也常叫 Newton-Leibniz 公式。Paul's Online Notes 在计算定积分一节中直接用它说明：求定积分时，先找任意一个原函数

F

，再做

F (b) - F (a)

。3

部分	解决的问题	公式
第一部分	变上限积分怎么求导 1	$\frac{d}{d x} \int_{a}^{x} f (t) d t = f (x)$
第二部分	定积分怎么快速计算 3	$\int_{a}^{b} f (x) d x = F (b) - F (a)$

例题 1：用基本定理计算一个定积分

计算

\int_{0}^{2} (x^{2} + 1) d x .

分析思路：不要再写黎曼和。先找

x^{2} + 1

的一个原函数。

F (x) = \frac{x ^{3}}{3} + x, F^{'} (x) = x^{2} + 1.

代入端点：

\int_{0}^{2} (x^{2} + 1) d x = F (2) - F (0) = (\frac{2 ^{3}}{3} + 2) - (\frac{0 ^{3}}{3} + 0) = \frac{8}{3} + 2 = \frac{14}{3} .

同一道题，如果从定积分定义出发，需要先写

Δ x = \frac{2}{n}

，再把

\sum_{i = 1}^{n} f (x_{i}^{*}) Δ x

化成关于

n

的式子，最后取极限；Paul's Online Notes 用定义法也算出结果

\frac{14}{3}

，随后在下一节用基本定理给出更短的计算。1 3

例题 2：变上限积分求导

求

g^{'} (x), g (x) = \int_{1}^{x} 1 + t^{2} d t .

这里上限就是

x

，下限是常数，被积函数是

1 + t^{2}

。由基本定理第一部分，直接把积分变量

t

换成上限

x

：

g^{'} (x) = 1 + x^{2} .

如果上限不是

x

，而是

u (x)

，还要乘上

u^{'} (x)

。例如

h (x) = \int_{1}^{x^{2}} 1 + t^{2} d t,

则

h^{'} (x) = 1 + (x^{2})^{2} \cdot 2 x = 2 x 1 + x^{4} .

这一步本质上是「基本定理 + 链式法则」。Paul's Online Notes 在第一部分例题中也把变上限为

u (x)

的情形写成

\frac{d}{d x} \int_{a}^{u (x)} f (t) d t = u^{'} (x) f (u (x))

。1

常见误区

忘记检查连续性。常规教材里的基本定理通常要求 $f$ 在积分区间上连续。若被积函数在区间内有断点，不能机械套公式。
把 $+ C$ 带进定积分还紧张。定积分只需要任意一个原函数， $F (b) - F (a)$ 会把常数抵消掉。
变上限不是 $x$ 时漏乘内层导数。 $\int_{a}^{x^{2}} f (t) d t$ 求导不是 $f (x^{2})$ ，而是 $2 x f (x^{2})$ 。
上下限顺序弄反。公式永远是上限代入减下限代入： $F (b) - F (a)$ 。

学到这里，定积分就从「极限定义」进入「可计算方法」了。下一步再讲换元积分，它会解决原函数不好一眼看出来的问题。

微积分基本定理：定积分不用再硬算黎曼和

直觉铺垫：面积函数的斜率，为什么会回到原函数

精确定义：基本定理有两句话

例题 1：用基本定理计算一个定积分

例题 2：变上限积分求导

常见误区

References

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